Уравнение мкт идеального газа — основные понятия, формулы и определение с примерами

Законы поведения идеального газа

В зависимости от условий, налагаемых на объем сосуда, величину давления или величину температуры – можно получить различные частные закономерности поведения идеального газа:

  • Закон Бойля-Мариотта
    (постоянной считается температура).
  • Закон Гей-Люссака
    (постоянным считается давление).
  • Закон Шарля
    (постоянен объем).

Имеются и другие соотношения. Соответствующие формулы можно посмотреть на картинке ниже:

На этом примере мы можем детально рассмотреть, как математические модели трансформируются в физические модели.

Прежде всего, идеальный газ — это математическая
модель газа. И с математической
точки зрения, идея очень проста: атомы (или молекулы) этого самого газа «не видят» друг друга. То есть каждая частица воспринимает сосуд как совершенно пустой. Такие частицы могут проходит друг сквозь друга. Из этого следует, например, что все частицы могут собраться в одной пространственной точке.

С другой стороны идеальный газ — это физический
термин. А значит, нам надо понять, какая физика отвечает такой математической модели.

а) Итак, во-первых, чтобы атомы «не видели» друг друга надо чтобы между ними не было потенциальных сил взаимодействия, то есть сил зависящих от расстояния между частицами. В терминах энергии это требование звучит так: » потенциальная энергия взаимодействия частиц равна нулю». Такое строгое равенство нулю, это все еще математика, в физике мы можем смягчить это условие, сказав «потенциальная энергия взаимодействия частиц много меньше
…». Чего? Энергию можно сравнивать только с энергией, а системе движущихся частиц наибольший вклад дает кинетическая энергия. И вот наше первое условие:

1) Потенциальная энергия взаимодействия частиц газа много меньше их кинетической энергии.

б) В математической модели молекулы представляются математическими точками, то есть без размера. В реальном мире такого требовать мы не можем. Как же нам сформулировать это условие физически? Зачем нам безразмерные молекулы? Для того чтобы они не сталкивались друг с другом. Мы не можем запретить соударение частиц ненулевого размера без ввода в систему сил отталкивания. Но силы отталкивания мы исключили первым пунктом. Тогда нам придется разрешить столкновения в системе, но с наложением 3 условий: редко, быстро и без потерь энергии. И вот еще 3 пункта:

2) Средняя длина свободного пробега частиц (то есть расстояние проходимое между двумя последовательными столкновениями) много больше их размера.

3) Время столкновения пренебрежимо мало.

4) Все столеновения происходят без потерь энергии.

Пункты 3) и 4) мы распространим и на соударение со стенками сосуда. Если все четыре требования выполнены, то мы можем считать наш газ идеальным.

5) Частицы в системе имеют случайные скорости, распределенные по закону Максвелла.

В неявном виде мы уже потребовали применимость закон Ньютона в системе (для закона сохранения импульса, например):

6) В системе действуют законы Ньютона.

Наука физика играет значимую роль в изучении окружающего мира. Поэтому ее понятия и законы начинают проходить еще в школе. Свойства вещества измеряются в разных аспектах. Если рассматривать его агрегатное состояние, то здесь существует особая методика. Идеальный газ — это физическая концепция, которая позволяет оценить свойства и характеристики материала, из которого состоит весь наш мир.

Классический термодинамический идеальный газ

Классические термодинамические свойства идеального газа можно описать двумя уравнениями состояния :

Закон идеального газа

Связь между законами Бойля , Шарля , Гей-Люссака , Авогадро , комбинированного и идеального газа с постоянной Больцмана k B =рN A знак равно п RN (в каждом законе свойства, обведенные кружком, являются переменными, а свойства, не обведенные кружком, считаются постоянными)

Закон идеального газа — это уравнение состояния идеального газа, которое определяется следующим образом:

куда

  • P — давление
  • V — объем
  • n — количество вещества в газе (в молях )
  • R — газовая постоянная (0,08206  л · атм · K −1 · моль −1 )
  • Т — абсолютная температура .

Закон идеального газа — это расширение экспериментально обнаруженных законов газа . Это также может быть получено из микроскопических соображений.

Реальные жидкости при низкой плотности и высокой температуре приблизительно соответствуют поведению классического идеального газа. Однако при более низких температурах или более высокой плотности реальная жидкость сильно отличается от поведения идеального газа, особенно когда она конденсируется из газа в жидкость или осаждается из газа в твердое тело. Это отклонение выражается коэффициентом сжимаемости .

Это уравнение получено из

  • Закон Бойля : ;V∝1п{\ displaystyle V \ propto {\ frac {1} {P}}}
  • Закон Чарльза : ;V∝Т{\ Displaystyle V \ propto T}
  • Закон Авогадро : .V∝п{\ Displaystyle V \ propto n}

Объединив три закона, получим

V∝пТп{\ displaystyle V \ propto {\ frac {nT} {P}}}

Это:

Vзнак равнор(пТп){\ displaystyle V = R \ left ({\ frac {nT} {P}} \ right)}
пVзнак равнопрТ{\ displaystyle PV = nRT}.

Внутренняя энергия

Другое уравнение состояния идеального газа должно выражать , согласно которому внутренняя энергия фиксированной массы идеального газа является функцией только его температуры. Для наших целей удобно постулировать примерную версию этого закона, написав:

Uзнак равноc^VпрТ{\ displaystyle U = {\ hat {c}} _ {V} nRT}

куда

  • U — внутренняя энергия
  • ĉ V — безразмерная удельная теплоемкость при постоянном объеме, приблизительно32для одноатомного газа ,52для двухатомного газа и 3 для нелинейных молекул, если рассматривать трансляции и вращения классически и игнорировать квантовый колебательный вклад и электронное возбуждение. Эти формулы возникают в результате применения классической теоремы о равнораспределении к поступательным и вращательным степеням свободы.

То, что U для идеального газа зависит только от температуры, является следствием закона идеального газа, хотя в общем случае ĉ V зависит от температуры, и для вычисления U необходим интеграл .

Микроскопическая модель

Чтобы перейти от макроскопических величин (левая часть следующего уравнения) к микроскопическим (правая часть), мы используем

прзнак равноNkB{\ displaystyle nR = Nk _ {\ mathrm {B}}}

куда

  • N{\ displaystyle N} количество частиц газа
  • kB{\ Displaystyle к _ {\ mathrm {B}}}- постоянная Больцмана (1,381 × 10 −23  Дж · К −1 ).

Распределение вероятностей частиц по скорости или энергии дается распределением скорости Максвелла .

Модель идеального газа зависит от следующих предположений:

  • Молекулы газа неразличимы, маленькие, твердые сферы.
  • Все столкновения упругие, и любое движение происходит без трения (без потерь энергии при движении или столкновении)
  • Применяются законы Ньютона
  • Среднее расстояние между молекулами намного больше, чем размер молекул.
  • Молекулы постоянно движутся в случайных направлениях с распределением скоростей
  • Между молекулами нет сил притяжения или отталкивания, кроме тех, которые определяют их точечные столкновения.
  • Единственные силы между молекулами газа и окружающей средой — это те, которые определяют точечные столкновения молекул со стенками.
  • В простейшем случае нет дальнодействующих сил между молекулами газа и окружающей средой.

Предположение о сферических частицах необходимо для того, чтобы не было разрешенных вращательных мод, в отличие от двухатомного газа. Следующие три предположения очень взаимосвязаны: молекулы твердые, столкновения упругие, межмолекулярные силы отсутствуют. Предположение о том, что пространство между частицами намного больше, чем сами частицы, имеет первостепенное значение и объясняет, почему приближение идеального газа не работает при высоких давлениях.

Идеальные квантовые газы

В вышеупомянутом уравнении Сакура – ​​Тетроде лучший выбор константы энтропии оказался пропорциональным квантовой тепловой длине волны частицы, а точка, в которой аргумент логарифма обращается в ноль, примерно равна точке при при котором среднее расстояние между частицами становится равным тепловой длине волны. Фактически, сама квантовая теория предсказывает то же самое. Любой газ ведет себя как идеальный газ при достаточно высокой температуре и достаточно низкой плотности, но в точке, где уравнение Сакура – ​​Тетрода начинает разрушаться, газ начинает вести себя как квантовый газ, состоящий либо из бозонов, либо из фермионов . (См. Статью о газе в рамке для получения информации об идеальных квантовых газах, включая идеальный газ Больцмана.)

Когда температура достигает температуры Бойля, газы имеют тенденцию вести себя как идеальный газ в более широком диапазоне давлений .

Идеальный газ Больцмана

Идеальный газ Больцмана дает те же результаты, что и классический термодинамический газ, но делает следующую идентификацию для неопределенной постоянной Φ :

Φзнак равноТ32Λ3г{\ displaystyle \ Phi = {\ frac {T ^ {\ frac {3} {2}} \ Lambda ^ {3}} {g}}}

где Λ — тепловая длина волны де Бройля газа, а g — вырождение состояний.

Идеальные бозе- и ферми-газы

Идеальный газ бозонов (например, фотонный газ ) будет регулироваться статистикой Бозе – Эйнштейна, а распределение энергии будет иметь форму распределения Бозе – Эйнштейна . Идеальный газ фермионов будет определяться статистикой Ферми – Дирака, а распределение энергии будет иметь форму распределения Ферми – Дирака .

Теплоемкость

Безразмерная при постоянном объеме обычно определяется как

c^Vзнак равно1прТ(∂S∂Т)Vзнак равно1пр(∂U∂Т)V{\ displaystyle {\ hat {c}} _ {V} = {\ frac {1} {nR}} T \ left ({\ frac {\ partial S} {\ partial T}} \ right) _ {V} = {\ frac {1} {nR}} \ left ({\ frac {\ partial U} {\ partial T}} \ right) _ {V}}

где S — энтропия . Эта величина обычно является функцией температуры из-за межмолекулярных и внутримолекулярных сил, но для умеренных температур она приблизительно постоянна. В частности, теорема о равнораспределении предсказывает, что константа для одноатомного газа равна ĉ V  = 32в то время как для двухатомного газа это Ĉ V  = 52если пренебречь вибрациями (что часто является отличным приближением). Поскольку теплоемкость зависит от атомной или молекулярной природы газа, макроскопические измерения теплоемкости предоставляют полезную информацию о микроскопической структуре молекул.

Безразмерная теплоемкость идеального газа при постоянном давлении составляет:

c^пзнак равно1прТ(∂S∂Т)пзнак равно1пр(∂ЧАС∂Т)пзнак равноc^V+1{\ displaystyle {\ hat {c}} _ {P} = {\ frac {1} {nR}} T \ left ({\ frac {\ partial S} {\ partial T}} \ right) _ {P} = {\ frac {1} {nR}} \ left ({\ frac {\ partial H} {\ partial T}} \ right) _ {P} = {\ hat {c}} _ {V} +1}

где H = U + PV — энтальпия газа.

Иногда различают идеальный газ, где ĉ V и ĉ P могут изменяться в зависимости от температуры, и идеальный газ , для которого это не так.

Отношение теплоемкости при постоянном объеме и при постоянном давлении — это показатель адиабаты

γзнак равноcпcV{\ displaystyle \ gamma = {\ frac {c_ {P}} {c_ {V}}}}

Для воздуха, представляющего собой смесь газов, это соотношение составляет 1,4.

Параметр — состояние — система

Параметры состояния системы разделяются на внешние и внутренние. Внешними параметрами системы называются физические величины, зависящие от положения в пространстве и различных свойств ( например, электрических зарядов) тел, кото — pine являются внешними но отношению к данной системе. Например, для газа таким параметром является объем V сосуда, в котором находится газ, ибо объем зависит от расположения внешних тел — — стенок сосуда. Для диэлектрика, находящегося в электрическом поле, внешним параметром является напряженность этого поля, связанного с внешними источниками поля. Атмосферное давление является внешним параметром для жидкости в открытом сосуде. Внутренними параметрами системы называются физические величины, зависящие как от положения внешних по отношению к системе тел, так и от координат и скоростей частиц, образующих данную систему.

Параметры состояния системы принято подразделять на внешние и внутренние. Внутренними параметрами системы называют величины, зависящие не только от положения внешних тел, но также от координат и скоростей частиц, образующих рассматриваемую систему.

Параметры состояния системы могут изменяться. Любое изменение в термодинамической системе, связанное с изменением хотя бы одного из ее термодинамических параметров, называется термодинамическим процессом.

Параметры состояния системы — переменные, определяющие термодинамическое состояние системы и отражающие любое свойство системы.

Параметр состояния системы — это такой ее показатель, изменение которого приводит к изменению состояния системы. Любая последовательность изменения состояния системы составляет термодинамический процесс.

Параметры состояния системы могут изменяться. Любое изменение в термодинамической системе, свячанное с изменением хотя бы одного из ее термодинамических параметров, называется термодинамическим процессом. Макроскопическая система находится в термодинамическом равновесии, если ее состояние с течением времени не меняется ( предпола.

Параметры состояния системы разделяются на внешние и внутренние. Внешними параметрами системы называются физические величины, зависящие от положения в пространстве и различных свойств ( например, электрических зарядов) тел, которые являются внешними по отношению к данной системе. Например, для газа таким параметром является объем V сосуда, в котором находится газ, ибо объем зависит от расположения внешних тел стенок сосуда. Для диэлектрика, находящегося в электрическом поле, внешним параметром является напряженность этого поля, связанного с внешними источниками поля. Атмосферное давление является внешним параметром для жидкости в открытом сосуде. Внутренними параметрами системы называются физические величины, зависящие как от положения внешних по отношению к системе тел, так и от координат и скоростей частиц, образующих данную систему. Например, внутренними параметрами газа являются его давление и энергия, которые зависят от координат и скоростей движущихся молекул и от плотности газа.

Параметр состояния системы — это такой ее показатель, изменение которого приводит к изменению состояния системы. Любая последовательность изменения состояния системы составляет термодинамический процесс.

Параметры состояния системы, изменение которых служит признаком наличия взаимодействия данного рода, называются координатами состояния системы. Таким образом v есть механическая координата состояния.

Параметры состояния системы, разности которых играют роль движущей силы процесса, называются потенциалами.

Некоторые параметры состояния системы, например объем, могут иметь не одно значение, если в системе имеется больше одной фазы ( см. фиг. Однако для гомогенной системы оказывается верной простая формулировка, приведенная в тексте.

Как параметр состояния системы, фазовая насыщенность может играть существенную роль в области, где весьма велики капилярные силы.

К пояснению свойств термодинамических функций.

Изменение параметров состояния системы называют термодинамическим процессом. Если в ходе последнего состояние системы в любой момент времени остается равновесным, то его называют обратимым. Если равновесность системы в ходе процесса нарушается, то процесс — необратим. Хотя обратимый термодинамический процесс практически не реализуем, к нему часто обращаются при теоретических исследованиях.

Скорости приближения параметров состояния системы к равновесию, в соответствии с теорией, характеризуют потоки энергии или вещества.

Зависимость давления от других величин

Зависимость давления от объема

В механике есть формула давления, которая показывает, что давление прямо пропорционально силе и обратно пропорционально площади, на которую эта сила оказывается.

Давление

p = F/S

F — сила

S — площадь

То есть если наши двести миллионов комаров будут толкать легковую машину, они распределятся по меньшей площади, чем если бы толкали грузовой автомобиль, — просто потому, что легковушка меньше грузовика. Из формулы давления следует, что давление на легковой автомобиль будет больше из-за его меньшей площади.

Рассмотрим аналогичный пример с двумя сосудами разной площади.

Давление в левом сосуде будет больше, чем во втором, потому что его площадь меньше. А раз меньше площадь сосуда, то меньше и его объем. Значит, давление зависит от объема следующим образом: чем больше объем, тем меньше давление, и наоборот.

При этом зависимость будет не линейная, а примет вот такой вид (при условии, что температура постоянна):

Зависимость давления от объема называется законом Бойля-Мариотта. Она экспериментально проверяется с помощью такой установки:

Объем шприца увеличивают с помощью насоса, а манометр измеряет давление. Эксперимент показывает, что при увеличении объема давление действительно уменьшается.

Зависимость давления от температуры

Рассмотрим зависимость давления газа от температуры при условии неизменного объема определенной массы газа. Исследования в этой области впервые провел французский изобретатель Жак Шарль в XVIII веке.

В ходе эксперимента газ нагревали в большой колбе, соединенной с ртутным манометром в виде узкой изогнутой трубки. Незначительным увеличением объема колбы при нагревании можно пренебречь, как и столь же незначительным изменением объема при смещении ртути в узкой манометрической трубке. Таким образом, объем газа можно считать неизменным.

Подогревая воду в сосуде, окружающем колбу, ученый измерял температуру газа термометром, а давление — манометром.

Эксперимент показал, что давление газа увеличивается с увеличением температуры. Это связано с тем, что при нагревании молекулы газа движутся быстрее, из-за чего чаще ударяются о стенки сосуда.

С температурой все проще. Зависимость давления от температуры при постоянных объеме и массе будет линейной:

Эта зависимость называется законом Шарля в честь ученого, открывшего ее.

Термодинамические потенциалы

Выражая энтропию как функцию T , V и N :

SkNзнак равнопер⁡(VТc^VNΦ){\ displaystyle {\ frac {S} {kN}} = \ ln \ left ({\ frac {VT ^ {{\ hat {c}} _ {V}}} {N \ Phi}} \ right)}

Химический потенциал идеального газа рассчитывается из соответствующего уравнения состояния (см термодинамического потенциала ):

μзнак равно(∂г∂N)Т,п{\ displaystyle \ mu = \ left ({\ frac {\ partial G} {\ partial N}} \ right) _ {T, P}}

где G — свободная энергия Гиббса и равна U + PVTS, так что:

μ(Т,п)знак равноkТ(c^п-пер⁡(kТc^ппΦ)){\ displaystyle \ mu (T, P) = kT \ left ({\ hat {c}} _ {P} — \ ln \ left ({\ frac {kT ^ {{\ hat {c}} _ {P}) }} {P \ Phi}} \ right) \ right)}

Химический потенциал обычно соотносится с потенциалом при некотором стандартном давлении P o, так что при :
μо(Т)знак равноμ(Т,по){\ displaystyle \ mu ^ {o} (T) = \ mu (T, P ^ {o})}

μ(Т,п)знак равноμо(Т)+kТпер⁡(ппо){\ displaystyle \ mu (T, P) = \ mu ^ {o} (T) + kT \ ln \ left ({\ frac {P} {Po}} \ right)}

Для смеси ( j = 1,2, …) идеальных газов, каждый из которых имеет парциальное давление P j , можно показать, что химический потенциал μ j будет задан приведенным выше выражением с заменой давления P на P j .

Термодинамические потенциалы идеального газа теперь могут быть записаны как функции от T , V и N как:

U{\ Displaystyle U \,} знак равноc^VNkТ{\ displaystyle = {\ hat {c}} _ {V} NkT \,}
А{\ Displaystyle A \,} знак равноU-ТS{\ Displaystyle = U-TS \,} знак равноμN-NkТ{\ Displaystyle = \ му N-NkT \,}
ЧАС{\ Displaystyle H \,} знак равноU+пV{\ Displaystyle = U + PV \,} знак равноc^пNkТ{\ displaystyle = {\ hat {c}} _ {P} NkT \,}
г{\ Displaystyle G \,} знак равноU+пV-ТS{\ Displaystyle = U + PV-TS \,} знак равноμN{\ displaystyle = \ mu N \,}

где, как и раньше,

c^пзнак равноc^V+1{\ displaystyle {\ hat {c}} _ {P} = {\ hat {c}} _ {V} +1}.

Наиболее информативный способ записать потенциалы в терминах их естественных переменных, поскольку каждое из этих уравнений может использоваться для вывода всех других термодинамических переменных системы. В терминах их естественных переменных термодинамические потенциалы однокомпонентного идеального газа равны:

U(S,V,N)знак равноc^VNk(NΦVеSNk)1c^V{\ Displaystyle U (S, V, N) = {\ hat {c}} _ {V} Nk \ left ({\ frac {N \ Phi} {V}} \, e ^ {S / Nk} \ right ) ^ {1 / {\ hat {c}} _ {V}}}
А(Т,V,N)знак равноNkТ(c^V-пер⁡(VТc^VNΦ)){\ Displaystyle A (T, V, N) = NkT \ left ({\ hat {c}} _ {V} — \ ln \ left ({\ frac {VT ^ {{\ hat {c}} _ {V) }}} {N \ Phi}} \ right) \ right)}
ЧАС(S,п,N)знак равноc^пNk(пΦkеSNk)1c^п{\ Displaystyle H (S, P, N) = {\ hat {c}} _ {P} Nk \ left ({\ frac {P \ Phi} {k}} \, e ^ {S / Nk} \ right ) ^ {1 / {\ hat {c}} _ {P}}}
г(Т,п,N)знак равноNkТ(c^п-пер⁡(kТc^ппΦ)){\ Displaystyle G (T, P, N) = NkT \ left ({\ hat {c}} _ {P} — \ ln \ left ({\ frac {kT ^ {{\ hat {c}} _ {P) }}} {P \ Phi}} \ right) \ right)}

Макропараметры

Макропараметры — это параметры, характеризующие систему в целом. Например, объем V, давление p, средняя скорость молекул \(~\left\langle \upsilon
\right\rangle\), температура T, концентрация n и т.д. Значения этих параметров могут быть установлены с помощью измерительных приборов.

Объем газа V — это объем сосуда, в котором газ находится. В Си измеряется в м3. Часто используется несистемная единица измерения 1 литр: 1 л = 10-3 м3.

Давление р — скалярная физическая величина, равная отношению силы F к значению площади S площадки, на которую эта сила действует\. Газ оказывает давление вследствие столкновений молекул со стенками сосуда. В Си единица давления 1 Н/м2 = 1 Па (Паскаль). Внесистемные единицы измерения — 1 мм.рт.ст и 1 атмосфера. Нормальное давление равно одной физической атмосфере. 1 физическая атмосфера = 1 атм = 760 мм.рт.ст, 1 техническая атмосфера = 1 ат = 736 мм.рт.ст. 1 мм.рт.ст. = 133Па.

Более строгое определение давления: давление р — скалярная физическая величина, равная отношению проекции силы на направление нормали к площадке, на которую сила действует, к значению площади этой площади.

Концентрация молекул n — это число молекул N в единице объема, т.е. \(~n = \dfrac{N}{V}\). Измеряется в 1/м3 = м–3.

Температура — скалярная физическая величина, характеризующий степень нагретости тела.

По шкале Цельсия температура обозначается буквой t, измеряется в градусах Цельсия (ºС). За 1 ºС принята одна сотая промежутка от температуры плавления льда (0 ºС) до температуры кипения воды (100 ºС).

Абсолютная температурная шкала — шкала температур, в которой за начало отсчета принят абсолютный нуль. Температура здесь обозначается буквой T, измеряется в кельвинах (К). За единицу измерения в этой шкале принят один градус Цельсия, т.е. изменение на один кельвин (1 К) равно изменению на один градус Цельсия.


T = (t + 273) К или t = (T – 273) ºС,

где T — абсолютная термодинамическая температура (К); t — температура по шкале Цельсия (ºС).

Средние скорости молекул газов

Движение молекул газа подчиняется законам статистической физики. В каждый момент времени скорости отдельных молекул могут значительно отличаться друг от друга, но их средние значения одинаковы и при расчетах используются не мгновенные скорости отдельных молекул, а не которые средние значения. Различают среднюю арифметическую \(~
\left\langle \upsilon \right\rangle\) и среднюю квадратичную \(~\left\langle \upsilon_{KB} \right\rangle\) скорости хаотического движения молекул.

Пусть имеется N молекул, скорости которых соответственно υ1, υ2, …, υN. Средняя арифметическая скорость хаотического движения молекул (при грубом приближении) по модулю определяется как сумма модулей скоростей молекул газа, деленная на их общее число:

\(~\left\langle \upsilon \right\rangle = \dfrac{\upsilon_1 + \upsilon_2 + \ldots + \upsilon_N}{N} .\)

Средняя квадратичная скорость хаотического движения молекул

\(~\left\langle \upsilon_{KB} \right\rangle = \sqrt{\left\langle \upsilon^2 \right\rangle} = \sqrt{\dfrac{\upsilon^2_1 + \upsilon^2_2 + \ldots + \upsilon^2_N}{N}} ,\)

где \(~\left\langle \upsilon^2 \right\rangle\) — средний квадрат скорости движения молекул. Его не следует смешивать с квадратом средней скорости\.

Как показывают расчеты, \(~\left\langle \upsilon \right\rangle = \sqrt{\dfrac{8R \cdot T}{\pi M}}\); \(~\left\langle \upsilon_{KB} \right\rangle = \sqrt{\dfrac{3R \cdot T}{M}}\) , где R — универсальная газовая постоянная, Μ — молярная масса.

Более строгое определение средней скорости дано тут.

Определение 1-го закона термодинамики

Первый закон термодинамики представляет собой некое обобщение закона сохранения и превращения энергии для термодинамической системы, и формулируется следующим образом:

∆U=Q-A.

Определение 1

Изменение ΔU внутренней энергии неизолированной термодинамической системы равно разности между количеством теплоты Q, переданной системе, и работой A, совершенной системой над внешними телами.

Формула первого закона термодинамики, зачастую записывается в ином виде: 

Q=∆U+A.

Определение 2

Количество теплоты, полученное системой, идет на изменение ее внутренней энергии и совершение работы над внешними телами.

Первый закон термодинамики представляет из себя, по сути, обобщение опытных фактов. Если руководствоваться им, то можно заявить, что энергия не возникает и не исчезает бесследно, а передается от одной системы к другой, меняя свои формы. Невозможность создания вечного двигателя (perpetuum mobile) первого рода, то есть машины, которая может совершать полезную работу, не потребляя энергию извне и не претерпевая каких-либо изменений во внутренней конструкции агрегата, являлась важным следствием первого закона термодинамики. В подтверждение этого выступает тот факт, что каждая из огромного множества попыток создания такого устройства неизменно заканчивалась неудачей. Реальная машина может совершать положительную работу A над внешними объектами, только получая некоторое количество теплоты Q от окружающих тел или уменьшая ΔU своей внутренней энергии.

Уравнение обращения воздействий

Исходными
уравнениями для вывода уравнения
обращения воздействий являются уравнение
неразрывности, уравнение состояния и
уравнение Бернулли для элементарной
струйки. Логарифмируя и дифференцируя
уравнение неразрывности G
=
ρwF,
получаем:

=
+

(4.1)

Дифференцируя
уравнение состояния p
=
ρRT,
после деления на ρполучаем:

=
R(dT + T)

(4.2)

Уравнение
Бернулли в дифференциальной форме имеет
вид:

=
wdw
dLтех
dLтр

(4.3)

Из
(4.1) и (4.2) получаем:

=RdT
+
RT()
(4.4)

Сопоставление
(4.4) с (4.3) после введения выражения для
скорости звука a2
=
kRT

даёт следующее уравнение:

RdT
+
()
+ (
w2

)+
dLтех
+
dLтр
= 0

(4.5)

посколькуwdw

=(
w2

)

От
члена RdTизбавимся
с помощью дифференциального уравнения
энергии:

dQн
= di + d=RT
+ wdw +
(4.6)

(так
как di
=
cpdT
=
dT)

Подставляем
(4.6) в (4.5) и после несложных преобразований
получаем уравнение
обращения воздействий
,
связывающее изменение скорости потока
с внешними воздействиями – геометрическим,
расходным, механическим, тепловым и
воздействием трения:

(M2
— 1)
=-
(4.7)

где
в правой части уравнения указанные выше
воздействия по порядку.

Уравнение
обращения воздействий было выведено
Л.А.Вулисом и может рассматриваться как
условие обращения воздействий, поскольку
устанавливает условия, при которых
возможен переход через скорость звука,
то есть через критическое значение
скорости. Из уравнения обращения
воздействий следует очень важный вывод:односторонним
воздействием нельзя перевести скорость
дозвукового потока через критическое
значение, то есть в сверхзвуковую область
– для этого нужно сменить знак воздействия
.

Наиболее
часто в технике мы встречаемся с
геометрическим воздействием, которое
имеет место в сопле Лаваля, представляющее
собой внач але сужающийся, а затем, после
критического сечения, расширяющийся
канал. Если прочие воздействия отсутствуют,
то уравнение для геометрического
воздействия принимает вид:

=(4.8)

Уравнение
(4.8) носит также название уравнение
Гюгонио
,
которое
было выведенонезависимо
от уравнения (4.7) из уравнений неразрывности
и Бернулли. Анализируя это уравнение,
видим, что для ускорения дозвукового
потока сопло должносужающимся,
так как при MdF

Для
получения сверхзвукового потока после
достижения скорости звукав
критическом сечении сопло должно быть
расширяющимся, тка как при MdF

Скорость
потока и безразмерная площадь проходного
сечения сопла Лаваля
связаныоднозначным
соотношением, которое графически
представлено на рис. 4.1.

Рис.4.1.
Зависимость безразмерной площади сопла
Лаваля от числа M

Давление,
температура и плотность газа в идеальном
термодинамическом процессе связаныуравнением
состояния

и, таким образом, в произвольном сечении
сопла Лаваля имеется определённое
значения числа Маха, которое зависит
от полного давления в камере перед
соплом. Соответственно, так как статическое
давление в сечениях сопла определяется
числом Маха, то давление на срезе
сверхзвукового сопла зависит только
от давления в камере перед соплом и от
формы сопла. Расчёт течений в соплах и
диффузорах представлен ниже в этой
главе.

В
каждом воздействий из другихвоздействий
для перехода через критическую скорость
(M
= 1
)
нужно изменить знак воздействия.
Например, в расходном сопле для ускорения
потока на дозвуковом участке нужно
подводить дополнительную массу жидкости,
а на сверхзвуковом участке отводить
её. В тепловом сопле подводом тепла к
движущемуся газу можно увеличить его
скорость только до критического значения,
а для перехода через скорость звука
нужно отводить тепло. Аналогично обстоит
дело с механическим соплом. В дозвуковой
области нужно подводить работу
(компрессор), а в сверхзвуковой – отводить
(турбина). Только трение является
односторонним воздействием, поскольку
оно всегда существует и его нельзя
отвести. Работа сил трения всегда
положительна, и переход через скорость
звука воздействие трения невозможен.

Вывод основного уравнения

  1. Аксенович Л.А. и др. Физика в средней школе // 6.11. Основное уравнение МКТ идеального газа
  1. Кикоин А.К. Давление идеального газа //Квант. — 1983. — № 10. — С. 35-37

Температура – мера средней кинетической энергии молекул

Можно провести следующий эксперимент. Взять сосуды с разными газами. Определить предварительно их объемы, массы и рассчитать число молекул (по формуле \(~N = \dfrac mM \cdot N_A\)), затем поместить сосуды в тающий лед. После наступления теплового равновесия определить давление p и рассчитать отношение \(~\dfrac{p \cdot V}{N}\). Опыт показывает, что оно одинаково для всех газов. Затем эти сосуды помещают в кипящую воду. Опять это отношение для всех газов одинаковое, но большее первого значения. Проделав опыт несколько раз при разных температурах, можно заметить, что отношение \(~\dfrac{p \cdot V}{N} \sim T\). Обозначим коэффициент пропорциональности k, тогда:

\(~\dfrac{p \cdot V}{N} = k \cdot T \) или
\(~p = \dfrac{N}{V} \cdot k \cdot T = n \cdot k \cdot T, \quad (3)\)

где p — давление газа (Па); n — концентрация молекул (м–3); T — температура газа (К); k — постоянная Больцмана, равная
1,38·10–23 Дж/К.

Сравнивая выражения (3) и (2), получаем

\( \dfrac 23 n \cdot \left\langle E_k \right\rangle = n \cdot k \cdot T, \) или
\(~\left\langle E_k \right\rangle = \dfrac 32 k \cdot T. \)

Данная формула верна для расчёта средней энергии поступательного движения молекулы или для расчёта средней кинетической энергии одноатомной молекулы. Если учитывать, наряду с поступательным движением и вращение молекулы, то средняя кинетическая энергии молекулы с жесткой связью (без колебании атомов в молекуле) будет равна

\(~\left\langle E_k \right\rangle = \dfrac i2 k \cdot T, \)

где i — степень свободы. Для одноатомного газа (например, инертные газы) i = 3, для двухатомного — i =5.

Понятие числа степеней свободы тела, т.е. число независимых координат, необходимо для однозначного задания его положения в пространстве. На каждую степень свободы в состоянии термодинамического равновесия в среднем приходится одна и та же энергия \( \dfrac{k \cdot T}{2}\). Оказывается, что этот результат имеет универсальный характер: средняя кинетическая энергия, приходящаяся на каждую степень свободы, одинакова и равна \( \dfrac{k \cdot T}{2}\). Это утверждение относится не только к газам, оно справедливо для теплового движения молекул в жидкостях и твердых телах, ионов и электронов в плазме и даже для макроскопических тел, совершающих броуновское движение в результате хаотических ударов молекул окружающей среды.

Температура – это величина, характеризующая среднюю кинетическую энергию поступательного движения молекул идеального газа:

\(~T = \dfrac{2 \left\langle E_k \right\rangle}{k}.\)

Эта формула позволяет установить физический смысл абсолютной температуры Т. Этот макроскопический параметр характеризует среднее значение кинетической энергии хаотического теплового движения одной молекулы в состоянии термодинамического равновесия. Интересно отметить, что средняя энергия теплового движения молекул зависит только от температуры газа. При данной температуре средняя кинетическая энергия поступательного хаотического движения молекул не зависит ни от химического состава газа, ни от массы молекул, ни от давления газа, ни от объема, занимаемого газом.

Так как абсолютная температура не может равняться нулю, то и средняя энергия теплового движения молекул то же не может равняться нулю, т.е. молекулы находятся в постоянном движении.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Adblock
detector